キクには多数の品種がありますが、奈良時代に中国から渡来して、日本独特の改良と観賞方法とによって育成された和ギクと、１８世紀に中国や日本からヨーロッパに渡って改良された洋ギクとに２大別できます。

　和ギクは花の大きさや花形により、各々独特の鉢仕立てとして栽培されています。一方、洋ギクは切り花、花壇、鉢植えなどの用途に応じて改良され、現在、一般的なキクのイメージは洋ギクと言っても過言ではありません。

　ご質問の件ですが、文面の様子では洋ギクのようなので洋ギクとしてお答えします。

　お気づきのようにキクは、古株をそのまま育てると、茎の数が多くなり、密集して下葉が落ち、見苦しくなります。また花も貧弱なものしか咲きません。そのため毎年更新する必要があるのです。方法は挿し芽が最も一般的ですが、小ギク（小輪のキク）については株分けも行います。

　キクは周年栽培が行われていて、繁殖時期もさまざまですが、秋ギクの普通栽培なら５～６月に挿し芽をします。越冬させた親株から出た芽を５～６㎝に切り、挿し床や育苗箱に鹿沼土やバーミキュライトを使って挿し、発根したら６～７月に定植します。寒ギクは６～７月に挿し芽を行い、７～８月に定植します。

　また、株分けの時期としては、夏ギクは１０月中下旬に掘り上げ、地下茎の芽を切り分けます。秋ギクは４～５月に株分けし、寒ギクは７～８月に株分けしてください。ご質問のようにそのまま置かず、数芽ずつに株分けして植え付けておけば、下葉もそれほど枯れなかったと考えられます。